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1. M=29×38×47×56×…×n(每两个连续因数的差均相等)，已知数M的末尾连续有12个“0”，则数n的最小值是：
A.470
B.515
C.560
D.1010
【答案】A
【解析】解法一：
第一步，本题考查约数倍数问题，用枚举法解题。
第二步，10=5×2，故出现一对5和2，尾数就将出现一个0。每两个数字就将出现1个2，因此5的数量决定尾数0的数量。65是第一个5的倍数，接下来每过5×9=45个数将继续出现5的倍数。枚举可知：65=13×5，110=22×5，155=31×5，200=8×5×5，245=49×5，290=58×5，335=67×5，380=76×5，425=17×5×5，470=94×5，此时刚好有12个5，则n的最小值是470。
因此，选择A选项。
解法二：
第一步，本题考查多位数问题。
第二题，由题意可得，每两个连续因数的差均相等都为9，则前十位数字为29，38，47，56，65，74，83，92，101，110，可知尾数为5的数字与偶数相乘后的乘积的尾数为0，110的尾数也为0，则前十个数字相乘的末尾有2个“0”，根据这一规律，可知第11~20位数字为119~200，可得乘积的末尾有3个“0”，第21~30位数字为209~290，可得乘积的末尾有2个“0”，第31~40位数字为299~380，可得乘积的末尾有2个“0”，第41~50位数字为389~470，可得乘积的末尾有3个“0”(尾数为25的数字与两个偶数相乘后可得的乘积的末尾有2个“0”)，此时数M的末尾有2+3+2+2+3=12个“0”，则数n的最小值为470。
因此，选择A选项。
2. 从1开始的自然数中，第100个不能被3整除的数是：
A.134
B.142
C.149
D.152
【答案】C
【解析】解法一：
第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，1-100中，能被3整除的数有：3、6、9、12、15、18……30，每30个数当中，有10个能被3整除，20个不能被3整除，则第100个不能被3整除的数刚好出现在第5组30个数中，，5组共有5×30=150个数。在1-30中，不能被3整除的最后一个数是29，即倒数第二个数，则在150个数中，第100个不能被3整除的为150-1=149。
因此，选择C选项。
解法二：
第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，将从1开始的自然数每三个数进行分组：(1，2，3)(4，5，6)……(3n-2，3n-1，3n)，每一组数中均有2个不能被3整除，故第100个不能被3整除的数出现在100÷2=50组，也就是(3×50-2，3×50-1，3×50)，对应的是3×50-1=149。
因此，选择C选项。
3. 甲、乙、丙三数分别为603，939，393。某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。则A等于( )。
A.11
B.13
C.17
D.19
【答案】C
【解析】解法一：
第一步，本题考查约数倍数问题，用代入排除法解题。
第二步，根据“A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍”，可知乙数的余数为2的倍数;且根据“A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍”，可知甲数的余数为4的倍数。
第三步，代入A项，603÷11=54…9，余数不是4的倍数，排除;代入B项，603÷13=46…5，余数不是4的倍数，排除;代入C项，603÷17=35…8，余数是4的倍数，保留此项;代入D项，603÷19=31…14，余数不是4的倍数，排除。因此仅C项符合题意。
因此，选择C选项。
解法二：
第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，根据“A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍”，可知将乙数扩大二倍后(即余数扩大二倍)减甲数，可消余数：939×2-603=1275，是A的倍数。同理：939-393×2=153也是A的倍数。因此A是1275和153的公约数。
第三步，已知1275=25×3×17，153=3×3×17，结合选项，当A=17时，符合题意。
因此，选择C选项。
【拓展】A除甲数=甲数除以A
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4. 小红有甲乙两个玩偶收纳箱，甲、乙两个箱子内的玩偶数之比为4∶3，如果从甲箱中拿出11个玩偶放到乙箱中，则甲、乙两个箱子中装有的玩偶数之比变为3∶5。那么，两个箱子中共有( )个玩偶。
A.47
B.72
C.63
D.56
【答案】D
【解析】解法一：
第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，已知不管怎么分配玩偶的总数不变，根据题意，总数既是7的倍数又是8的倍数，及总数为56的倍数，只有D选项符合。
因此，选择D选项。
解法二：
第一步，本题考查约数倍数问题，用方程法解题。
第二步，设刚开始甲乙两个箱子内的玩偶数分别为4x、3x，根据题意可列出等式：(4x-11)∶(3x+11)=3∶5，解得x=8，则两个箱子中共有7×8=56(个)。
5. 三个连续自然数的乘积是210，则其中两个自然数为：
A.4、5
B.7、8
C.8、9
D.6、7
【答案】D
【解析】解法一：
第一步，本题属于约数倍数问题，用代入排除法解题。
第二步，三个连续自然数的乘积是210，则210均能被这三个自然数整除，代入选项判断：
代入A选项，210不能被4整除，排除;
代入B选项，210不能被8整除，排除;
代入C选项，210不能被8、9整除，排除;
代入D选项，210能被6、7整除，满足题意;
因此，选择D选项。
解法二：
第一步，本题属于约数倍数问题，用方程法解题。
第二步，设三个连续的自然数中第二个为x，则第一个为x+1，第三个为x-1，可列方程：(x+1)x(x-1)=x³-x=210，解得x=6，则三个连续自然数分别为5、6、7，只有D选项满足题意。
因此，选择D选项。
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